D O C U M E N T 5 2 0 M AY 1 9 2 9 7 3 1 520. From Élie Cartan[1] Le Chesnay (S. et O.) 27 avenue de Montespan, le 8 mai 1929 Monsieur et illustre Maître, Je m’excuse de prendre quelques instants de votre temps si précieux pour la science c’est sur le conseil de mon ami Langevin que je me décide à vous écrire.[2] Dans vos notes récents des Sitzungsberichte consacrés à une nouvelle théorie de la relativité généralisée, vous avez introduit dans un espace riemannien la notion de «Fernparallelismus».[3] Or la notion d’espace riemannien doué d’un Fernpa- rallelismus est un cas particulier d’une notion plus générale, celle d’espace à connexion euclidienne, que j’ai indiquée succinctement en 1922 dans une note des Comptes rendus (t. 174, p. 593–595)[4] parue au moment où vous faisiez vos confé- rences au Collège de France [5] je me rappelle même avoir, chez M. Hadamard[6], essayé de vous donner l’exemple le plus simple d’un espace de Riemann avec Fernparallelismus en prenant une sphère et en regardant comme parallèles deux vecteurs faisant le même angle avec les méridiennes qui passent par leurs deux ori- gines: les géodésiques correspondants sont les loxodromies (Cet exemple est cité aussi dans un article: Sur les récents généralisations de la notion d’espace, (Bull. Sciences math. 48. 1924, p. 294–320).[7] Avec la terminologie que j’ai introduite les espaces à connexion euclidienne comportent une courbure et une torsion dans les espaces où le parallélisme est défini à la Levi-Civita la torsion est nulle dans les espaces où le parallélisme est absolu (Fernparallelismus) la courbure est nulle. Ce sont donc des espaces sans courbure et à torsion. J’ai fait dans un long mémoire paru dans les annales de l’Ecole normale (surtout t. 42, 1925) et intitulé: «Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée» une étude systématique des tenseurs aux- quels donne lieu soit la courbure soit la torsion: l’un de ceux que fournit la torsion a précisément tous les caractères mathématiques du potentiel électromagnétique.[8] Les variétés riemanniennes avec Fernparallelismes jouent un rôle important dans la théorie des groupes. J’ai étudié tout cela dans un autre long mémoire La Géométrie des groupes de transformations (J. de math. pures et appliquées, t. 6, 1927, p. 1–119) [9] dans l’espace représentatif des transformations d’un groupe contenu, il existe en effet deux connexions affines sans courbure (Fernparalle- lismus) remarquables la condition pour qui le tenseur introduit par le Fern- parallelismus soit à coefficients constants est précisément que l’espace considéré soit l’espace représentatif d’un groupe (simple ou semi simple si l’espace est riemannien).