D O C . 4 4 3 G E N E R A L R E L A T I V I T Y A N D M O T I O N 691 1 Gesamtsitzung vom 6. Januar 1927 allen Lösungen jener linearen Differentialgleichungen strenge Lösungen ent- sprechen. Beispielsweise existiert eine Lösung der linearen Gleichungen, welche einer ruhenden punktförmigen Singularität in einem homogenen Gravitations- felde entspricht, während es eine strenge Lösung dieses Charakters nicht gibt, weil die soeben aus den strengen Gleichungen abgeleiteten Gleichgewichts- bedingungen in diesem Falle verletzt sind. Bei dieser Sachlage erhebt sich die Frage: welchen zusätzlichen Bedingungen muß eine approximative Lösung genügen, damit ihr eine strenge Lösung entspricht? Jedenfalls muß an eine solche Bedingung die Anforderung gestellt werden, daß in sie die zweite und höhere Approximationen für die Größen γμν nicht oder doch nicht von gleicher Ordnung eingehen wie die erste Approximation der γμν. Hierin liegt der Grund, warum die Umformung (16) ausgeführt wurde bzw. ausgeführt werden mußte, um zu einer brauchbaren Gleichgewichtsbe- dingung zu gelangen. Es sind nämlich sowohl die Γαμν als auch die g μν r klein von der ersten Ordnung, also die tασ klein von der zweiten Ordnung. Denkt man sich zu den gμν Glieder zweiter Ordnung zugefügt, so würde dies die t νσ um Glieder dritter Ordnung modifizieren, welche wir vernachlässigen dürfen. Trotzdem sich (15)— (16) auf Größen zweiter Ordnung bezieht, ist es daher im Spezialfalle des Gleichgewichtes gestattet, die Größen zweiter Ordnung in den gμν zu vernachlässigen. Dann können w ir für die γμν in (18) Lösungen der li- nearen Approximationsgleichungen der Feldgleichungen (10) einsetzen. Im Bereiche dieser Approximation ist es erlaubt, das Feld (γμν) der Umgebung einer Singularität aus einem »inneren« Teil γμν und einem »äußeren« Teil γμν a d d itiv zusammenzusetzen. γμν ist im singulären Punkte regulär. Für γμν läßt sich die statische Lösung einsetzen, welche wir in der Form schreiben: ___— ______ ___ 2 m ^_ 2 m Vx) - h a?, + 3? (19) 7,r = o (für f + r) Bei der Berechnung von (17) hat man ferner zu beachten, daß nur die Pro- dukte von Größen des inneren Feldes mit Größen des äußeren Feldes zum Resultat beitragen können. Die auf das innere Feld allein bezüglichen Glieder zweiten Grades müssen sich nämlich aus Symmetriegründen wegheben die auf das äußere Feld allein bezüglichen Glieder liefern keinen Beitrag zum Integral wegen Kleinheit der Integrationsfläche. Da wir nun schon quasi-euklidische Koordinaten gewählt haben, ist es zweckmäßig, als Integrationsfläche eine Kugel (r = konst) zu wählen, so daß (17) die Form annimmt. Die Rechnung ergibt 8πγm 44xσ. Es ergibt sich also als Gleich- gewichtsbedingung des singulären Punktes s = Q . 3 «, (20) 32 33 34 35 / ( « 7- + t T + t T-)'ds (17a)
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