6 9 0 D O C . 4 4 3 G E N E R A L R E L A T I V I T Y A N D M O T I O N E i n s t e i n und J. G r o m m e r : Allgemeine Relativitätstheorie und Bewegungsgesetz 9 Ableitungen an der Oberfläche überall verschwinden außer in einem sehr [29] kleinen Abstande von L. Dann verschwindet das über M ' erstreckte Integral von Uα, abgesehen von den Beiträgen, die die an M heranreichenden Enden liefern. Für jede solche W ahl der ξσ ergibt sich so eine Aussage über das L unmittelbar umgebende Feld, d. h. eine Aussage über die Bewegung des materiellen Punktes. Die einfachste Folgerung, welche w ir aus (15a) ziehen können, be- trifft das Gleichgewicht des singulären Punktes in einem stationären Gravi- tationsfelde. W ir wählen zunächst dessen singuläre Linie als x 4- Achse, den ξ -Vektor derart, daß dessen erste und zweite Ableitung an dem inneren Mantel verschwinden. Dann läßt es sich leicht so einrichten, daß die Inte- gration über die Endstücke des äußeren Mantels verschwindet, indem beide Enden den entgegengesetzt gleichen Betrag liefern. Das Integral über den inneren Mantel verschwindet für sich allein und damit das Integral über einen raumartigen Querschnitt x4 = konst. Nennen wir tασ die geschweifte Klammer in (16), so verschwindet also das dreidimensionale Integral [30] für jedes σ, erstreckt über einen Querschnitt des Mantels M. Es ist dies dieselbe Gleichgewichtsbedingung, welche man auch erhielte, indem man den singulären Punkt durch ein Gebiet von kontinuierlichem Materie-Energiefluß ersetzte, wie man in der allgemeinen Relativitätstheorie die Untersuchung [31] bisher anstellte. Die gewohnte Bedingung für das Gleichgewicht eines ma- teriellen Punktes in einem Gravitationsfelde bleibt also erhalten, wenn man den materiellen Punkt durch eine Singularität ersetzt. Durch Hinzufügen der elektromagnetischen Glieder könnte leicht gezeigt werden, daß dies auch noch gilt für einen Massenpunkt, der eine elektrische Ladung besitzt und sich unter der W irkung eines Gravitationsfeldes und eines elektromagnetischen Feldes befindet. Man hat dann in (17) zu den t νσ nur die Komponenten des elek- tromagnetischen Energietensors hinzuzunehmen. Um die Kraftwirkung auf den singulären Punkt durch Masse und äußere Feldstärke ausgedrückt zu erhalten, müssen wir eine Überlegung anstellen, welche für das ganze Problem von Bedeutung ist. Strenge Lösungen der Gravitationsgleichungen lassen sich nur ganz wenige mit unseren heutigen Hilfsmitteln erreichen, leicht dagegen Lösungen für die erste Approximation, da die zugehörigen Differentialgleichungen linear sind. Diese Approximation ist dadurch charakterisiert, daß man setzt wobei die γμν klein sind gegen I und die Quadrate und Produkte der γ (und ihrer Ableitungen) vernachlässigt werden die γμν nennen wir kleine Größen von der ersten Ordnung. W ir haben nun gesehen, daß bei weitem nicht 3. olg r g a t gral at . gμν = — δ μ ν + γ μ ν , ( 18) ( 1 7 )