6 9 2 D O C . 4 4 3 G E N E R A L R E L A T I V I T Y A N D M O T I O N E i n s t e i n und J. G r o mme R: Allgemeine Relativitätstheorie und Bewegungsgesetz 1 1 Es läßt sich leicht zeigen, daß die Gleichung der geodätischen Linie in dem Falle des Gleichgewichtes im stationären Felde bei der von uns betrachteten Approximation dieselbe Bedingung liefert. W ir gehen nun zu dem Falle über, daß der singuläre Punkt sich in einem nicht stationären Felde befindet. Auch hier gilt die Gleichung (15a) sowie der zugehörige Integralsatz. W ir transformieren den singulären Punkt auf Ruhe, so daß die x4-Achse wieder die Singularität im Vierdimensionalen ist. W ir wählen ferner die ξα so, daß sie nur längs eines Stückes des Mantels M von Null verschieden sind, auf M' aber überall verschwinden. Ferner seien die ξα in der Umgebung der x4-Achse stetig. Da die ξα an den zeitlichen Integrationsgrenzen verschwinden müssen, können wir sie nicht mehr konstant wählen. Bα in (15b) verschwindet also nicht. Hieraus ergibt sich eine eigentümliche Schwierigkeit. Während nämlich auf die tασdie zweite Approximation in den g μν — wie wir gesehen haben — nicht von Einfluß ist, wenn man sich für die tνσ auf die Glieder zweiter Ord- nung beschränkt, ist dies bei den Bα nicht der Fall. Um beispielsweise das Glied gμνΓατνξτ,μ in Größen zweiter Ordnung genau zu erhalten, müßte — weil gμν einen Bestandteil nullter Ordnung (δμτ) enthält — Γατν in Gliedern zweiter Ordnung genau bekannt sein, also die g μν selbst in Gliedern zweiter Ordnung genau. Man könnte sich also nicht mit Lösungen der linearen Approximations- Feldgleichungen begnügen. Diese Schwierigkeit scheint sich jedoch auf folgende W eise lösen zu lassen. Man setze g μν = — K- +V», + y». + £ », • (18a) Dabei soll γμν wieder durch (19) gegeben sein, γμν sich auf das äußere Feld beziehen und in der Umgebung der Singularität stetig sein. εμν sei eine Größe zweiter Ordnung, welche der »Masse« m und dem äußeren Felde proportional sei. Es scheint nun, daß man mit einem solchen Ansatz den Gravitations- gleichungen bei Vernachlässigung von Gliedern, die m2 proportional sind und bei Vernachlässigung von quadratischen Gliedern der äußeren Feldstärke (γμν) in zweiter Näherung gerecht werden kann, wobei die Abhängigkeit des εμν von r nicht vom Charakter r―1 (wie dies bei γμν der Fall ist), sondern vom Charakter r° ist. Hieraus folgt dann, daß das Glied zweiter Ordnung εμν keinen Einfluß hat auf das über den unendlich engen Mantel M erstreckte Integral von Bα. W eiter ist dann leicht zu beweisen, daß das über M erstreckte Integral von Bα bei passender Koordinaten w ahl verschwindet. Letztere kann nämlich offenbar so getroffen werden, daß die γμν in der singulären Linie (x4-Achse) verschwinden (x1, x2, x3-Achsen senkrecht auf singulärer Linie und Koordinateneinheit gleich Maßeinheit auf allen vier Achsen). Es sei ferner angenommen, daß gerade für ein solches (unverzerrtes) Koordinatensystem die Singularität zentralsym- metrisch sei, d. h . daß das Feld γ aus (19) zu berechnen sei. Dies ist eigentlich keine der Sache nach nötige Hypothese. Aber wir vereinfachen so sehr die Rechnung, und die Hypothese bestätigt sich dadurch, daß sie zum Verschwinden des über M erstreckten Integrals von Bα bei jeder W ahl der ξα führt. [36] [37] [38]