286 DOC. 158 ON R I E M A N N C U R V A T U R E T E N S O R Über die formale Beziehung des Riemannschen Krümmungstensors zu den Feldgleichungen der Gravitation. Von A. Einstein in Berlin. [1] Die Feldgleichungen der Gravitation werden gewöhnlich in der Form geschrieben 1 R i m - 12gi m R = - k T i m, wobei Tim den Energietensor der Materie und des elektromagnetischen Feldes bedeutet. Die physikalische Begründung für das zweite Glied der linken Seite liegt darin, daß es bewirkt, daß die Divergenz der linken Seite identisch verschwindet. Dies erscheint notwendig für die Deutung des Energiesatzes der Materie. Es ist ferner wohlbekannt, daß die Variation des Integrals des Krümmungsskalars nach den gμν nicht den Tensor Rim, sondern den Tensor Rim — 1 \ 2 gikR liefert. Endlich hat Herglotz gezeigt, daß dieser Tensor eine einfache mathematische Bedeutung besitzt: Ist (ξ i) eine beliebige Richtung, so ist Rikξ iξ k der Krümmungsskalar des auf (ξi) senkrechten dreidimensionalen Schnittes des vierdimensionalen Kontinuums. Andererseits aber lassen sich gewichtige Gründe dafür anführen, daß Rim- 1 4 gimR in Wahrheit derjenige Tensor sei, welcher bei tieferer Erfassung des Gra- vitationsgesetzes maßgebende Bedeutung besitzt. Will man nämlich dem Grundgedanken der Relativität voll gerecht werden, so wird man dazu ge- drängt, die raumartigen Schnitte der Welt als endlich anzunehmen, was auch notwendig wird, wenn man der Materie in der Welt eine endliche mittlere Dichte zuschreiben will. Man kann diesen Bedingungen gerecht 7* [2] [3] [4] [5]