288 DOC. 158 ON R I E M A N N C U R V A T U R E T E N S O R [12] [13] Riemannscher Tensor und Gravitationsgleichungen. 10 1 senkrechtes (f ik). Wir zerlegen nun den Krümmungstensor R ik, lm gemäß der Formel (4) Rik,lm = S ik, lm +ik,lmA in zwei Summanden derart, daß der Anteil Sik, lm in den Flächenelementen (f ik) und (fik) gleiche Flächenkrümmung, der Anteil Aik, lm entgegenge- setzt gleiche Flächenkrümmung liefert. Setzt man der Kürze halber (5a) ( g il g km - gi m g k l ) f i k f l m = ( g i l g km - g i m 9 k l) f i k f lm — 1, so bedeutet dies, daß für jede Wahl des Flächenelementes die Gleichungen I f i k { l i n — __ A f i k { lm 'A4 ik ,l m kt lm i I "t k,lm i • erfüllt sein sollen. Durch diese Bedingungen ist die Zerlegung vollkommen bestimmt. Es erweist sich nun, daß der „antisymmetrische“ Bestandteil Ai k ,lm mit dem Tensor Rik — 1gikR /4 eng zusammenhängt, derart, daß das Ver- schwinden des einen das Verschwinden des andern zur Folge hat und um- gekehrt. Es ist nämlich (6) A -^ik.lm 2 (9 il @km 9km @ il 9 im @ k l 9kl ®tm) wobei zur Abkürzung (5b) ( 7 ) l @ik = ^ i k 4 ~ f g ikR gesetzt ist. Zum Beweise führen wir zunächst den Tensor ein ( 8 ) 4 f i f - 4 4 t »aßaTgoi 9rt = lig iito .9 oa9'fi-, 1 y 9 * dabei bedeutet δiklm bzw. δ i klm die Werte ± 1 , je nachdem i k l m eine gerade oder ungerade Permutation von (1 ,2 , 3, 4) ist. Dann ist (9) f t k= A “ f aß, denn es ist leicht zu beweisen, daß dann den Gleichungen (5a) sowie der Gleichung ( 1 0 ) ( g u g k m - g i m g k i ) f i k f lm = 0 Genüge geleistet ist. Wir führen ferner die Bezeichnung ein (11) Rik, lm — A(£ A,m Ri„,„T,