6 8 6 D O C . 4 4 3 G E N E R A L R E L A T I V I T Y A N D M O T I O N [14] [15] [16] [17] [18] Ein st e in und J. Gr o mmer : Allgemeine Relativitätstheorie und Bewegungsgesetz 5 axialsymmetrische statische Gravitationsfelder, welche wir W e y l , LEVI-CIVITA und B a c ii verdanken1. Dies soll zunächst gezeigt werden erst nachher soll das Problem allgemeiner behandelt werden. In dieser Arbeit wollen w ir uns auf die Betrachtung des reinen Gravitationsfeldes beschränken, trotzdem das Hinzutreten elektromagnetischer Felder keine besonderen Schwierigkeiten bietet. 1. g lar t t l (a al y tr r tat r all). Nach W e Yl und L e v I-Civ it a läßt sich im axialsymmetrischen statischen Falle durch Einführung der »kanonischen Zylinderkoordinaten« ds2 in die Form bringen ds2= f 2d f 2 — da2 f 2dtf = (dr’ + d«’), (1) wobei f und γ nur von r und z abhängen, ebenso die Größe Ψ , welche mit f durch die Gleichung f = eΨ (2) zusammenhängt. Ψ genügt der (POISSONschen) Potentialgleichung für Zylinder- koordinaten = t ( 3 (r \i/J 3 (rd/r) ) = °* (3 ) wobei die Indizes Ableitungen nach z bzw. r bedeuten. Ist Ψ bekannt, so bestimmt sich daraus γ durch die Gleichung dγ = 2r4',4'rdz + r(4' — 4'l)dr, (4) wobei dγ wegen (3) stets ein vollständiges Differenzial ist. Damit das Feld in einem Punkte außerhalb der z-Achse regulär sei, genügt die Regularität von Ψ . Damit das metrische Feld auch in der z -Achse regulär sei, muß in der z-Achse außerdem γ = 0 sein denn wenn dies nicht der Fall wäre, dann wäre das Verhältnis des maßstäblichen Umfanges zum maß- stäblichen Durchmesser eines den Punkt der z-Achse umgebenden, zur z-Achse senkrechten, unendlich kleinen Kreises von π verschieden, was eine Singularität der Metrik bedeuten würde. Dies ist leicht aus (1) zu schließen. W ir betrachten nun zunächst die Lösung 4' = m 1 V (5) welche (3) befriedigt. Diese Lösung ist zwar nicht streng zentralsymmetrisch, wie W e y l gezeigt hat aber sie kommt der zentralsymmetrischen um so näher, je kleiner m ist. Die Anwendung von (4) liefert y s= m‘ 2 (r’ + z y (6) 1 H . W e y l . Ann. d. Physik 54 (1918), S. 117— 145 Ann. d. Physik 59 (1919), S. 185— 188. Le Vi -Civ it a , ds2 einsteiniani in campi newtoniani VIII. Note, Red. Acc. dei Lincei, 1919. R. Bac h , Math. Zeitschr. Band 13, Heft 1— 2, 1922.