7 1 8 D O C . 4 5 9 O N K A L U Z A ’ S T H E O R Y : P A R T 1 24 Sitzung der phys.-math. Klasse vom 17. Februar 1927. — Mitteilung vom 20. Januar Es wird möglich sein, das Koordinatensystem so zu wählen, daß nur die °-Komponente von ξβ von Null verschieden ist, und daß ξ° überall den- selben W ert hat. Dann geht (2) in W ir wollen ferner annehmen, das fünfdimensionale Kontinuum sei so beschaffen, daß der infinitesimale Verschiebungsvektor überall denselben Betrag habe, d. h. daß γμνξμξν von allen Variabeln unabhängig sei (»verschärfte 4 Zy l r gg. «)BdB e i er e t g o o r g t o o r a t - systems bedeutet dies, daß γ00ξ°ξ°, und damit auch das γ00 konstant sei. W ir dürfen daher ohne Beschränkung der Allgemeinheit γ00 = ± 1 setzen. Der Einfachheit halber wollen wir die folgenden Entwicklungen für das po- sitive Zeichen machen, die Setzung des negativen Zeichens führt zu demselben Ergebnis. wobei die Summationen bezüglich der Indizes m und n von 1 bis 4 zu er- strecken sind. Man sieht leicht ein, daß dτ2 und dΦ bezüglich Transformationen der x1, x2, x 3, x4 Invariante sind. K a l Uz a hat sie als metrische bzw. elektrische Invariante im vierdimensionalen Kontinuum (R4 ) gedeutet, was infolge (2a) möglich ist. So faßte er die beiden Fundamentalinvarianten durch Einfüh- rung eines fünfdimensionalen, zylindrischen Kontinuums (R5 ) zu einer formalen Einheit zusammen. Damit ist allerdings noch keine Beschränkung für die Naturgesetze ge- wonnen gegenüber der üblichen Methode der allgemeinen Relativitätstheorie, welche dτ und dΦ als selbständige Invarianten einführt. K a l u z a erzielt eine solche Beschränkung dadurch, daß er nur solche Gleichungen zuläßt, welche bezüglich beliebiger Punkttransformationen im R5 kovariant sind und von den γμν allein abhängen. K a l u z a gelangt zu in erster Näherung richtigen Feld- gleichungen für Gravitation und Elektrizität, indem er den einmal verjüngten RIEMANN-Tensor der Krümmung im R5 null setzt. W ir wollen hier diese weiter- gehende Hypothese nicht einführen, sondern uns zunächst darauf beschränken, eine Konsequenz aus der Existenz der Metrik im R5 und aus der verschärften Zylinderbedingung zu ziehen. Das »angepaßte Koordinatensystem« läßt, abgesehen von einer beliebigen Punkttransformation im R4 der x1, x2, x3, x4, noch die Transformation (»x°- Transformation«) 1 Der Umweg über Gleichung (2) wurde nur gewählt, um den invarianten Charakter der »Z ylinderbedingung« hervortreten zu lassen. (2 a) über1 *. Unter Benutzung des »angepaßten« Koordinatensystems können wir setzen 5 (3) [8] dir’ = di* -¥■2dpdaf + dx°’ dr' = ymndxmdxn 1 dp = yomdxm, } ^ = 0 daf 6 7