60 D O C . 17 G R A V I T A T I O N A N D E L E C T R I C I T Y 415 Gesamtsitzung vom 9. Juli 1925 [3] Unabhängig von diesem affinen Zusammenhang führen wir eine kontravariante Tensordichte gμν ein, deren Symmetrieeigenschaften wir ebenfalls offen lassen. Aus beiden bilden wir die skalare Dichte 6 = fl'"’-®». (3) und postulieren, daß sämtliche Variationen des Integrals 3 == ^&dx, dx,dx3dxi nach den gμν und Γμν als unabhängigen (an den Grenzen nicht varierten) Va- riabeln verschwinden. [4] Die Variation nach den g“' liefert die 16 Gleichen K . = o , (4) die Variation nach den Γ'“, zunächst die 64 Gleichungen 3r . a.ar . _ x . ( * V ß V 9 'V g-T fg = o . (5) Wir wollen nun einige Betrachtungen anstellen, die uns die Gleichungen (5) durch einfachere zu ersetzen gestatten. Verjüngen wir die linke Seite von (5) nach den Indizes ν, α bzw. μ,α , so erhalten wir die Gleichungen 3 (-y P + + 9“” (1% - rfÄ) = o 9 9^ 9 9“ 3 a . 3 *. = o . (6) (7) Führen wir ferner Größen gμν ein, welche die normierten Unterdeterminanten zu den gμν sind, also die Gleichungen 9.- 8'“ = 9- 9°’ = K erfüllen, und multiplizieren (5) mit gμν so erhalten wir eine Gleichung, die wir nach Heraufziehen eines Index wie folgt schreiben können ! 9““ ( - ^ r + 1 «s) + ( r f c - 1* .) + + 9' ^ ) = 0. (8) wenn man mit g die Determinante aus den gμν bezeichnet. Die Gleichungen (6) und (8) schreiben wir in der Form f" = *g~(rÄ —rf.) = + = - 9 ““( 9 -^ + rfg) . (9) wobei fμ eine gewisse Tensordichte bedeutet. Es ist leicht zu beweisen, daß das Gleichungssystem (5) äquivalent ist dem Gleichungssystem - y j p + 9ß' r 8 .+ 9,‘ß r «ß— gB’r®3 Ä.'f' = o (10)