2 6 2 D O C . 1 4 7 S P A C E A N D T I M E Punkte ausgehenden „Lichtkegels“ . Betrachtet man nur Elemente, die zu demselben Zeitwerte gehören, so ist Diese Elemente ds lassen sich durch ruhende Strecken realisieren, und es gilt für diese nach wie vor die Euklidische Geometrie. Dies ist die Modifikation, welche die Lehre von Raum und Zeit durch die spe- zielle Relativitätstheorie erfahren hat. Noch tiefer hat die allgemeine Relativitäts- theorie die Lehre vom Raume modifiziert, weil sie den euklidischen Charakter des dreidimensionalen räumlichen Schnittes des Kontinuums von Raum und Zeit leugnet. Sie behauptet also, dass für die relative Lagerung ¢gegen²einander ¢ru- henden² dauernd berührender Körper nicht die euklidische Geometrie gelte. Der Erfahrungssatz von der Gleichheit der trägen und schweren Masse führte nämlich dazu, den Zustand des Kontinuums, wie er sich inbezug auf ein Nicht- Inertialsystem manifestiert, als Schwerefeld zu deuten, und Nicht-Inertialsysteme als gleichberechtigt zu behandeln mit Inertialsystemen. Inbezug auf ein solches System, welches mit dem Inertialsystem durch eine nicht-lineare Transformation der Koordinaten verknüpft ist, nimmt die metrische Invariante die allgemei- nere Form an , wobei die Funktionen der Koordinaten sind, und über die Indizes μ und ν über alle Kombinationen 11, 12…44 zu summieren ist. Die Variabilität der ist äqui- valent mit der Existenz eines Gravitationsfeldes.[13] Bei genügend allgemeiner Art des Gravitationsfeldes ist es überhaupt nicht möglich ein „Inertialsystem“ zu fin- den, d. h. ein ¢solches² Koordinatensystem, inbezug auf welches sich in der oben angegebenen einfachen Form ausdrückt. Aber auch in diesem Falle gibt es in der infinitesimalen Umgebung ei- nes Raum-Zeit-Punktes ein lokales Bezugssystem, für welches die letztere einfa- che Form gilt.[14] Dieser Thatbestand nun führt auf eine Art der Geometrie, welche Riemanns Genie mehr als ein halbes Jahrhundert vor der allgemeinen Relativitätstheorie geschaffen, und deren hohe physikalische Bedeutung Riemann vorausgeahnt hat.[15] Die Riemannsche ¢Theorie der Metrik² Geometrie eines n-dimensionalen Rau- mes verhält sich zu der Euklidischen Geometrie eines n-dimensionalen Raumes wie die allgemeine ¢Theorie² Geometrie der krummen Fläche zur Geometrie der Ebene. Für die infinitesimale Umgebung eines Punktes einer krummen Fläche ds2 0= –ds2 dx2 dy2 dz2 + + = ds2 ds2 μν ¦gμνdxμdxν = gμν gμν ds2 ds2 c2dt2 dx2 dy2 dz2 =
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