D O C . 1 4 7 S P A C E A N D T I M E 2 6 3 gibt es ein lokales Koordinatensystem, in welchem sich der Abstand ds zweier unendlich benachbarter Punkte durch die Gleichung ausdrückt [16] für ein beliebiges (Gausssches) Koordinatensystem aber gilt in ei- nem endlichen Gebiet der krummen Fläche ein Ausdruck von der Form Sind die in Funktion von und gegeben, so ist dadurch die Fläche in geo- metrischer Beziehung vollkommen bestimmt. Denn man kann für jede Kombina- tion zweier unendlich benachbarter Flächenpunkte aus dieser Formel die Länge ds des sie verbindenen Stäbchens berechnen, und Es sind mit Hilfe der Formel alle auf der Fläche ausführbaren Stäbchen-Netz-Konstruktionen berechenbar. Insbesonde- re kann man in jedem Punkte die „Krümmung“ der Fläche berechnen, diejenige Grösse, welche ausdrückt, in welchem Masse und in welcher Weise die Lagerungs- gesetze für Stäbchen in der unmittelbarer Nähe des betrachteten Punktes von denen der Geometrie der Ebene abweichen.[17] Diese Gausssche Flächen Theorie hat Riemann auf Kontinua von beliebig vielen Dimensionen ausgedehnt und dadurch der allgemeinen Relativitätstheorie den Weg geebnet. Denn es zeigte sich oben, dass zu zwei unendlich benachbarten Raum-Zeit-Punkten eine Zahl ds gehört, die durch Messung mit starren Massstä- ben und Uhren gewonnen werden kann (bei zeitartigen Elementen sogar durch eine Uhr allein). Diese Grösse ds tritt in der mathematischen Theorie an die Stelle der Stäbchenlänge in der dreidimensionalen Geometrie. Die Kurven von extremalem bestimmen die Bahnen der materiellen Punkte und Lichtstrahlen im Gravita- tionsfelde, und die „Krümmung“ des Raumes ist abhängig von der über den Raum verteilten Materie. Wie in der euklidischen Geometrie der Raum-Begriff sich auf die Lagerungs- möglichkeiten starrer Körper bezieht, so bezieht sich der Begriff „Raum-Zeit“ der allgemeinen Relativitätstheorie auf das Verhalten starrer Körper und Uhren. Aber es unterscheidet sich das letztere Kontinuum von dem ersteren dadurch, dass die Gesetze des Verhaltens jener Gegenstände vom Orte abhängen. Das Kontinuum (bezw. die dasselbe beschreibenden Grössen) tritt explicite in die Naturgesetze ein, und umgekehrt werden diese Eigenschaften des Kontinuums durch physische Faktoren determiniert. Die Raum und Zeit betreffenden Relationen lassen sich von der eigentlichen Physik nicht mehr trennen. Welches die Eigenschaften des Raum-Zeit-Kontinuums als eines Ganzen sind, darüber wissen wir nichts Sicheres. Aber durch die allgemeine Relativitäts[theo- rie] hat die Auffassung an Wahrscheinlichkeit gewonnen, dass das Kontinuum in seiner zeitartigen Ausdehnung unendlich, in seiner raumartigen aber endlich sei.[18] ds2 dx2 dy2 += ds2 g11dx1 2 2g12dx1dx2 g22dx22 + + = gμν xμ xν sd ³